В каком предложении оба выделенных слова пишутся раздельно? 1) Я человек небогатый; дела мои расстроены, да и к ТОМУ (ЖЕ) мне наскучило кочевать с места на место (В) ТЕЧЕНИЕ целого года. 2) По некоторым мелочам, ПО (ТОМУ), например, как оба они (В) МЕСТЕ варили кофе, я мог заключить, что живут они мирно, благополучно и что они рады гостю. 3) Выражение лица у неё было такое, словно она готова (ТОТ) ЧАС заплакать, (НЕ) СМОТРЯ на то что новости были очень хорошие. 4) (В) СКОРЕ Степан привезёт почту, а ТАК (ЖЕ) продукты.

Правильный ответ — 1.

Разберём все варианты.

1) Я человек небогатый; дела мои расстроены, да и к ТОМУ ЖЕ мне наскучило кочевать с места на место В ТЕЧЕНИЕ целого года.

Оба выделенных слова пишутся раздельно:

к тому же — устойчивое сочетание со значением «кроме того», пишется в три слова:
к тому же мне наскучило...

в течение — производный предлог со значением времени, пишется раздельно, на конце -е:
в течение целого года.

Значит, в предложении 1 оба слова действительно пишутся раздельно.

Проверим остальные варианты.

2) По некоторым мелочам, ПО ТОМУ, например, как оба они ВМЕСТЕ варили кофе...

по тому пишется раздельно, потому что здесь есть указательное местоимение тому:
по тому, как они варили кофе.

А вот вместе в значении «совместно» пишется слитно:
вместе варили кофе.

Здесь не оба слова раздельно.

3) ...словно она готова ТОТЧАС заплакать, НЕСМОТРЯ на то что новости были очень хорошие.

тотчас в значении «сразу, немедленно» пишется слитно.

несмотря на то что — составной союз, пишется с не слитно:
несмотря на то что новости были хорошие.

Здесь оба слова пишутся слитно, а не раздельно.

4) ВСКОРЕ Степан привезёт почту, а ТАКЖЕ продукты.

вскоре в значении «скоро» пишется слитно.

также здесь союз, его можно заменить на и:
Степан привезёт почту и продукты.
Значит, также пишется слитно.

Здесь тоже нет раздельного написания обоих слов.

Итак, единственный вариант, где оба выделенных слова пишутся раздельно, — 1:
к тому же, в течение.