Найдите словосочетание с деепричастием:
1) проложенный геологами 2) запер на замок
3) написал письмо 4) закрыв книгу
В каком случае НЕ следует писать слитно?
1) (не)построив 2) (не)рассчитывая
3) (не)навидя 4) (не)освещая

В первом задании правильный ответ — 4) закрыв книгу.

Закрыв — это деепричастие. Оно обозначает добавочное действие и отвечает на вопрос что сделав?:
закрыв книгу — что сделав? закрыв.

Остальные варианты не подходят:

1. проложенный геологами — это причастный оборот, потому что проложенный — причастие;

2. запер на замок — глагол с зависимыми словами;

3. написал письмо — глагол с существительным.

Во втором задании спрашивается: в каком случае НЕ следует писать слитно?

Правильный ответ — 3) ненавидя.

Здесь слово ненавидя пишется слитно, потому что без не оно не употребляется: слова навидя в современном русском языке нет.

Остальные деепричастия с не пишутся раздельно:

1. не построив;

2. не рассчитывая;

3. не освещая.

Итак, ответы:

1-е задание: 4) закрыв книгу.
2-е задание: 3) ненавидя.