Перепиши предложения, поставь, где надо, знаки препинания между частями сложносочинённого предложения с разделительными отношениями.

По сообщению синоптиков, сегодня пойдёт дождь или будет град.

Правильно:

По сообщению синоптиков, сегодня пойдёт дождь или будет град.

Запятая перед союзом или не ставится, потому что у двух частей сложносочинённого предложения есть общий второстепенный член — обстоятельство времени сегодня.

Грамматические основы:

дождь пойдёт
град будет

Обе части относятся к слову сегодня: сегодня пойдёт дождь или сегодня будет град. Поэтому запятая между частями сложносочинённого предложения не нужна.

А после слов по сообщению синоптиков запятая ставится, потому что это вводное сочетание, указывающее на источник сообщения.