Перемести кавычки туда, где они пропущены:
Как-то раз сестра попросила меня сводить её в кинотеатр «Пять залов» на мультфильм «Человек-барсук». Мы попали в «Синий зал», он самый большой, а ещё в нём есть детский уголок, в котором малыши весело проводят время до киносеанса.

Правильно так:

Как-то раз сестра попросила меня сводить её в кинотеатр «Пять залов» на мультфильм «Человек-барсук». Мы попали в «Синий зал», он самый большой, а ещё в нём есть детский уголок, в котором малыши весело проводят время до киносеанса.

Кавычки нужны в трёх местах:

«Пять залов» — название кинотеатра.
«Человек-барсук» — название мультфильма.
«Синий зал» — название зала.

Слова детский уголок в кавычки брать не нужно, потому что это не собственное название, а обычное обозначение места для детей.