Какую функцию выполняет в предложении слово «который»?
«Они поняли друг друга по тому отчаянию, которое прочитали друг у друга в глазах».
Варианты: дополнение, определение, обстоятельство, подлежащее.

В данном предложении слово «которое» является союзным словом и входит в состав придаточного определительного предложения: «которое прочитали друг у друга в глазах».

Если разобрать именно грамматическую роль внутри этого придаточного предложения, то видно, что:

• сказуемое: «прочитали»

• подлежащее (подразумевается): «они»

• слово «которое» отвечает на вопрос «что прочитали?» и зависит от сказуемого «прочитали»

Следовательно, «которое» выполняет функцию прямого дополнения.

Правильный вариант: дополнение.