Нужно ли ставить запятую после слова «что» в предложении: «Писатель хочет сказать, что несмотря на простоту пейзажей, полотна Левитана покоряют сердца»?

Запятая после слова «что» в этом предложении ставится, если оборот «несмотря на простоту пейзажей» обособляется:

Писатель хочет сказать, что, несмотря на простоту пейзажей, полотна Левитана покоряют сердца.

Здесь запятые выделяют обстоятельственный оборот со значением уступки: полотна покоряют сердца вопреки простоте изображённых пейзажей.

Однако обороты с предлогом «несмотря на» могут и не обособляться, особенно когда они тесно связаны со сказуемым и произносятся без паузы:

Писатель хочет сказать, что несмотря на простоту пейзажей полотна Левитана покоряют сердца.

Оба варианта возможны, но в данном предложении более выразительным и обычно предпочтительным будет вариант с двумя запятыми: «что, несмотря на простоту пейзажей, полотна…».