«Заниматься спортом» — это предложение или словосочетание?

«Заниматься спортом» — это словосочетание, а не предложение.

Главное слово здесь — глагол в неопределённой форме заниматься, зависимое слово — существительное спортом в творительном падеже. Между ними есть подчинительная связь: заниматься чем? спортом.

Предложением такое сочетание обычно не считают, потому что в нём не выражена законченная мысль и нет грамматической основы с личной формой глагола.

Сравните:

• Заниматься спортом полезно. — предложение.

• Я занимаюсь спортом. — предложение.

• Заниматься спортом — словосочетание.

Однако в определённом контексте, например в призыве, заголовке или ответе на вопрос, эти слова могут употребляться как отдельное высказывание: «Заниматься спортом!» Но по строению это всё равно сочетание инфинитива с зависимым словом.