Почему про человека, не знающего отдыха и пребывающего в беспрестанных хлопотах, говорят: «вертимся как белка в колесе»?

Так говорят потому, что поведение очень занятого человека напоминает белку, которая бежит внутри вращающегося колеса. Она непрерывно перебирает лапками, колесо крутится всё быстрее, сил тратится много, а сама белка при этом никуда не перемещается.

Отсюда и переносный смысл выражения «вертеться как белка в колесе»: быть постоянно занятым, без конца решать какие-то дела, спешить, хлопотать, переходить от одной заботы к другой и почти не иметь возможности остановиться и отдохнуть. Часто в этом выражении есть ещё оттенок мысли о том, что при огромной суете человек не всегда заметно продвигается вперёд: дел становится не меньше, и после одного сразу появляется другое.

Широкую известность этот образ получил благодаря басне Ивана Андреевича Крылова «Белка». В ней белка целый день бегает в колесе и хвалится тем, что занята важным делом. Дрозд же замечает, что при всей её беготне она остаётся на том же месте. Именно эта наглядная картина и закрепилась в русском языке как характеристика беспрестанной занятости и суеты.

Поэтому фраза «вертимся как белка в колесе» означает примерно: «постоянно заняты, всё время куда-то спешим, дел очень много, а передышки почти нет».