Почему перед словом «кому» ставится запятая? «Прощай, Пётр! Служи верно, кому присягнешь; слушайся начальников; за их лаской не гоняйся».

В предложении «Служи верно, кому присягнешь» запятая перед словом «кому» ставится потому, что начинается придаточная часть сложноподчиненного предложения.

Разберем строение:

Служи верно, кому присягнешь.

Главная часть: Служи верно.
От нее задается вопрос: служи верно кому?
Ответ: кому присягнешь.

Часть «кому присягнешь» — это придаточное местоименно-определительное (с оттенком дополнения), которое присоединяется к главной части союзным словом кому. Союзное слово «кому» одновременно связывает части предложения и является членом придаточной части (дополнением: присягнешь кому?).

По правилу между главной и придаточной частями сложноподчиненного предложения ставится запятая:

Служи верно, кому присягнешь.

Здесь запятая не зависит от того, что слово «кому» короткое или стоит сразу после глагола. Главное — это граница между двумя частями сложного предложения.

Также в этом примере есть обращение:

Прощай, Пётр!

Слово «Пётр» — обращение, поэтому после него ставится запятая. Далее идут однородные повелительные предложения:

Служи верно, кому присягнешь; слушайся начальников; за их лаской не гоняйся.

Точка с запятой разделяет самостоятельные части перечисления, а запятая перед «кому» отделяет придаточное предложение.