Подчеркнуть грамматическую основу и фразеологизмы, как члены предложения.
Наступило «бабье лето».
Попался, товарищ Хижняк? Попался как кур во щи.
Да это, батенька мой, кустарщина, курам на смех!
У него выпущено в свет очень много брошюр, книжек.
Как только я остался один в этом тихом уголке, вдруг все мои прежние мысли и воспоминания выскочили у меня из головы.

Условные обозначения: одной чертой выделены подлежащие, жирным шрифтом — сказуемые (в тетради их нужно подчеркнуть двумя чертами). Фразеологизмы выделены курсивом.

1. Наступило «бабье лето».

Наступило «бабье лето».

• Грамматическая основа: бабье лето наступило.

• Подлежащее: «бабье лето».

• Сказуемое: наступило.

• Фразеологизм: «бабье лето» — устойчивое сочетание, обозначающее период тёплой и сухой погоды осенью.

Как подчеркнуть: весь фразеологизм «бабье лето» — одной чертой, поскольку он является подлежащим.

2. Попался, товарищ Хижняк? Попался как кур во щи.

Попался, товарищ Хижняк? Попался как кур во щи.

• Грамматическая основа первого предложения: попался (подразумевается «ты»).

• Грамматическая основа второго предложения: попался как кур во щи (подразумевается «ты»).

• Фразеологизм: «попасть (попасться) как кур во щи» — оказаться в неприятном или затруднительном положении.

Как подчеркнуть: во втором предложении всё выражение «попался как кур во щи» — двумя чертами, поскольку фразеологизм выполняет роль сказуемого.

«Товарищ Хижняк» — обращение, членом предложения не является.

3. Да это, батенька мой, кустарщина, курам на смех!

Да это, батенька мой, кустарщина, курам на смех!

• Подлежащее: это.

• Сказуемое: кустарщина; «курам на смех» — присоединённая оценочная характеристика, которую можно рассматривать как однородное сказуемое.

• Фразеологизм: «курам на смех» — о чём-либо нелепом, смешном, вызывающем насмешку.

Как подчеркнуть: «это» — одной чертой, «кустарщина» и «курам на смех» — двумя чертами.

«Батенька мой» — обращение, членом предложения не является.

4. У него выпущено в свет очень много брошюр, книжек.

У него выпущено в свет очень много брошюр, книжек.

• Грамматическая основа: очень много брошюр, книжек выпущено в свет.

• Подлежащее: очень много брошюр, книжек (количественно-именное сочетание).

• Сказуемое: выпущено в свет.

• Фразеологизм: «выпустить в свет» — издать, опубликовать произведение.

Как подчеркнуть: «выпущено в свет» — двумя чертами, поскольку всё устойчивое сочетание является сказуемым. «Очень много брошюр, книжек» — одной чертой.

5. Как только я остался один в этом тихом уголке, вдруг все мои прежние мысли и воспоминания выскочили у меня из головы.

Как только я остался один в этом тихом уголке, вдруг все мои прежние мысли и воспоминания ** выскочили ** у меня ** из головы **.

Это сложноподчинённое предложение, поэтому в нём две грамматические основы.

Первая грамматическая основа:

• Подлежащее — «я».

• Сказуемое — «остался один» (составное именное сказуемое).

Вторая грамматическая основа:

• Однородные подлежащие — «мысли» и «воспоминания».

• Сказуемое — «выскочили из головы».

Фразеологизм: «выскочить из головы» — внезапно забыться, перестать удерживаться в памяти.

Как подчеркнуть: «я», «мысли», «воспоминания» — одной чертой; «остался один» и «выскочили из головы» — двумя чертами. Слова «у меня» не входят в состав самого фразеологизма.

Итог: фразеологизмы и их синтаксическая роль

Главное правило: фразеологизм представляет собой устойчивое, неделимое по смыслу сочетание слов, поэтому при синтаксическом разборе обычно рассматривается как один член предложения. Подчёркивать нужно всё выражение целиком, а не отдельные слова внутри него.