По-весеннему так пишется?

Да, правильно писать "по-весеннему" именно так — через дефис и с двумя "н". Объясню подробнее, почему.

Почему пишется через дефис?

Слово "по-весеннему" — это наречие, образованное от прилагательного "весенний" с помощью приставки "по-" и суффикса "-ему". Наречия такого типа (по + прилагательное в форме дательного падежа среднего рода) в русском языке всегда пишутся через дефис. Например:

• по-зимнему

• по-летнему

• по-новому

• по-старому

То есть здесь работает правило: если наречие образовано с помощью приставки "по-" и суффикса "-ому/-ему", то оно пишется через дефис.

Почему две "н"?

Корень "весен-" происходит от прилагательного "весенний", в котором две "н" — это нормально и грамматически правильно, поскольку суффикс "-енн-" указывает на принадлежность ко времени года (весна). Такие прилагательные, как "осенний", "весенний", "летний" образуются с помощью суффиксов, содержащих удвоенные согласные.

Соответственно, в производном наречии "по-весеннему" сохраняется это написание — с двумя "н".

Итак, правильно: по-весеннему — через дефис и с двумя "н".

Хочешь, могу привести примеры использования этого слова в предложениях?