Как правильно пишется: "борщом" или "борщём"?

Правильно писать «борщом».

Слово «борщом» — это творительный падеж единственного числа от слова «борщ». Согласно нормам современного русского языка и правилам орфографии, в подобных случаях используется буква «о» после шипящей согласной (в данном случае — «щ») в безударной позиции. Это связано с тем, что в безударном положении после шипящих в окончаниях существительных и прилагательных пишется «о», а не «ё».

Примеры:

• Я пообедал борщом и пельменями.

• Он угощал гостей горячим борщом.

Форма «борщём» с буквой «ё» встречается, но она считается орфографически неверной. Такая написание может появляться в неформальной переписке или при попытке отразить произношение, однако в литературной и нормативной письменной речи следует использовать только форму «борщом».