Как правильно пишется: "синим" или "синем"?

Правильный вариант — "синим". Это форма творительного падежа прилагательного "синий". В русском языке прилагательные на -ий в творительном падеже имеют окончания -им или -ым, в зависимости от ударения. В слове "синий" ударение падает на первый слог, поэтому в творительном падеже используется форма "синим".

Примеры:

• Я нарисовал картину синим цветом.

• Он написал письмо синим карандашом.

Форма "синем" является ошибочной.