Как пишется слово: "держатся" или "держутся"?

Правильный вариант — «держатся».

Слово «держатся» является формой глагола «держаться» в настоящем времени, в третьем лице, во множественном числе. При спряжении этого глагола в данной форме сохраняется буква «а» перед суффиксом -тся: они держатся.

Почему не «держутся»?
Потому что в русском языке глагол «держаться» относится к I спряжению. У глаголов I спряжения в формах 3-го лица (он, она, они) перед окончанием пишется гласная «а» или «е». В данном случае — «а».

Примеры:

• Дети держатся за руки.

• Люди держатся уверенно на льду.

Форма «держутся» является орфографической ошибкой.