Как пишется слово "шьёшь" или "шьёш"?

Правильное написание — "шьёшь". Это слово является формой глагола "шить" во втором лице единственного числа настоящего времени. В русском языке существует правило, что в формах глаголов с суффиксами "-ёшь", "-ёте" после "ш" и других шипящих звуков пишется буква "ё", чтобы сохранить правильное произношение.

Поэтому, "шьёшь" — это единственно верный вариант.