какое понятие шире: биология или ботаника

Биология — понятие шире.
Ботаника — это одна из отраслей биологии, которая изучает растения (в широком смысле — высшие и низшие растения, традиционно сюда относили и водоросли; грибы сейчас чаще выносят в отдельную микологию). А биология охватывает всё живое и все уровни его организации.

Чтобы было наглядно:

• Биология включает десятки направлений: зоологию (животные), ботанику (растения), микробиологию (бактерии и археи), микологию (грибы), вирусологию (вирусы как объекты на границе живого), генетику, молекулярную и клеточную биологию, физиологию, экологи́ю, эволюционную биологию, биохимию, биофизику, нейробиологию и т. д. Она работает на разных уровнях — от молекул и клеток до организмов, популяций, сообществ и экосистем.

• Ботаника занимается только растительным миром: строением и функциями растений, их размножением, физиологией, систематикой и эволюцией, экологией растений, геоботаникой, анатомией и морфологией растений, палеоботаникой и др. Это глубокая, но тематически ограниченная часть биологии.

Итого: биология — общий «зонтик», а ботаника — одна из её специализированных дисциплин.