Почему множество действительных (вещественных) чисел, представляемых в памяти компьютера, дискретно, конечно и ограничено?

Причина, по которой множество действительных чисел, представляемых в памяти компьютера, является дискретным, конечным и ограниченным, заключается в особенностях представления данных в вычислительных системах.

1. Дискретность: В компьютерах данные хранятся в двоичной форме, где каждое число представлено в виде конечной последовательности битов (нулей и единиц). Каждое вещественное число в памяти представляется как число с фиксированной точностью, то есть как конечная последовательность бит. Таким образом, между любыми двумя представленными числами всегда есть минимальное расстояние, что делает множество чисел дискретным. В реальной жизни вещественные числа непрерывны, но в компьютере возможны лишь определённые приближённые значения, которые можно закодировать с помощью ограниченного числа бит.

2. Конечность: Количество бит в стандартных типах данных (например, в типах float или double) ограничено. Для представления числа выделяется конечное количество памяти (например, 32 бита для float и 64 бита для double). Это означает, что число представлений действительных чисел в памяти компьютера также ограничено, несмотря на теоретическую бесконечность множества действительных чисел.

3. Ограниченность: Действительные числа, представляемые в компьютере, ограничены не только количеством бит, но и диапазоном значений, которые можно выразить с помощью этих бит. Например, для типа float диапазон значений ограничен от минимального значения до максимального (например, от 1.4 × 10⁻⁴⁶ до 3.4 × 10³⁸ в IEEE 754). В связи с этим числа, которые выходят за эти пределы, либо округляются до ближайшего представимого значения, либо считаются недопустимыми (например, "бесконечность").

Таким образом, комбинация ограниченности памяти, фиксированного числа бит для представления чисел и конечного диапазона значений приводит к тому, что множество вещественных чисел в компьютере является дискретным, конечным и ограниченным.