Как-то раз, придя домой со школы, Света обнаружила записку от мамы, в которой она просила сделать салат. Света знала, что салат – это смесь двух или более ингредиентов, поэтому ей не составило труда выполнить мамину просьбу.Но Света хочет стать математиком, поэтому, для тренировки, решила посчитать, сколько различных салатов она сможет сделать из имеющихся продуктов (майонез, огурцы, помидоры). После небольших расчетов она получила ответ: 4.Зная, что вы любите интересные задачки, и хотите стать программистами, Света попросила вас написать программу, которая определяет количество различных салатов для произвольного числа ингредиентов.

Чтобы ответить на этот вопрос, нужно сначала понять, как Света посчитала количество различных салатов.

В задаче говорится, что салат — это смесь двух или более ингредиентов. То есть из набора доступных продуктов Света должна выбрать подмножества, состоящие как минимум из двух элементов.

Шаг 1: Разбор задачи на примере

Для трех продуктов (майонез, огурцы, помидоры), Света посчитала, что можно сделать 4 различных салата. Посмотрим, какие именно салаты она могла составить:

1. Салат из майонеза и огурцов.
2. Салат из майонеза и помидоров.
3. Салат из огурцов и помидоров.
4. Салат из майонеза, огурцов и помидоров.

Видим, что комбинации продуктов, состоящие из двух или более ингредиентов, составляют 4 различных салата.

Шаг 2: Формулировка задачи

Общее количество возможных сочетаний из $n$ продуктов, где мы выбираем подмножества из двух или более продуктов, можно вычислить с помощью формулы для количества подмножеств.

• Общее количество подмножеств множества с $n$ элементами равно $2^n$. Это включает в себя все подмножества: от пустого множества до множества, содержащего все элементы.
• Но нас интересуют только подмножества, состоящие хотя бы из двух элементов, поэтому нужно вычесть пустое подмножество и все подмножества, состоящие из одного элемента.

Таким образом, количество подмножеств с двумя или более элементами можно выразить так:

где:

• $2^n$ — общее количество подмножеств множества из $n$ элементов,
• $-1$ — исключаем пустое подмножество,
• $-n$ — исключаем все подмножества, состоящие из одного элемента.

Шаг 3: Пример

Для трех продуктов ($n = 3$):

Это точно то количество салатов, которое посчитала Света.

Шаг 4: Реализация программы

Вот как можно написать программу, которая будет решать эту задачу для произвольного числа ингредиентов:

python
def count_salads(n):
    return 2**n - 1 - n
# Пример использования
n = int(input("Введите количество ингредиентов: "))
print("Количество различных салатов:", count_salads(n))

Объяснение работы программы:

1. Функция count_salads(n) принимает число $n$ (количество ингредиентов) и возвращает количество различных салатов, которые можно составить из этих ингредиентов.
2. Для нахождения этого числа используется формула $2^n - 1 - n$.
3. Программа выводит результат на экран.

Заключение

Таким образом, количество различных салатов, которые можно сделать из $n$ ингредиентов, равняется $2^n - 1 - n$, и это позволяет быстро вычислить число возможных салатов для любого количества доступных продуктов.