1. I am glad to be introduced to you. 2. The box was to be handled with care. You should ask someone to help you. This might not happen. 3. Her mood seems to have changed for the worse. We had better not speak to her now. 4. I am sorry to disappoint you but I did not mean anything of the kind. 5. He is happy to be awarded the first Landscape Prize for his picture. 6. He was anxious to take the first place in the figure-skating competition. 7. The poem can easily be memorized. 8. This poem is easy to memorize. 9. I did not expect to be asked this question. 10. There were so many things to do, so many experiments to try. 11. The teacher expected him to give a better answer at the examination. 12. They are supposed to have experimented in this field for about a year and are believed to have achieved good results. 13. He must have read something funny; he is smiling all the time.

Отвечаю как участник учебного форума: ниже даю корректный смысловой перевод каждой реплики и кратко объясняю, какая инфинитивная конструкция/модальность используется и что она выражает.

1. I am glad to be introduced to you.
   Перевод: Рад(а) знакомству с вами / Рад(а), что меня представили вам.
   Пояснение: инфинитив в пассиве to be introduced — обстоятельство причины/состояния при прилагательном glad (“рад”).

2. The box was to be handled with care. You should ask someone to help you. This might not happen.
   Перевод: С коробкой следовало обращаться осторожно. Тебе (вам) стоит попросить кого-нибудь помочь. Это может и не случиться.
   Пояснение:
   • was to be handled — оборот be to: предписанная необходимость/должноствование; инфинитив в пассиве.
   • should ask … to help — модальный should (совет) + объектный инфинитив to help.
   • might not happen — модальный might (возможность/вероятность) + простой инфинитив.

3. Her mood seems to have changed for the worse. We had better not speak to her now.
   Перевод: Похоже, её настроение изменилось к худшему. Нам бы лучше сейчас с ней не говорить.
   Пояснение:
   • seems to have changed — конструкция типа «Complex Subject»: сказуемое seem + перфектный инфинитив (вывод о прошлом).
   • had better not speak — устойчивый модальный оборот had better (настоятельный совет).

4. I am sorry to disappoint you but I did not mean anything of the kind.
   Перевод: Извините, что разочаровываю вас, но я вовсе не это имел(а) в виду.
   Пояснение: to disappoint — инфинитив причины после прилагательного sorry.

5. He is happy to be awarded the first Landscape Prize for his picture.
   Перевод: Он счастлив, что за свою картину удостоен первой Премии в жанре пейзажа.
   Пояснение: to be awarded — пассивный инфинитив как результат/повод для эмоции (happy).

6. He was anxious to take the first place in the figure-skating competition.
   Перевод: Он горел желанием занять первое место в соревнованиях по фигурному катанию.
   Пояснение: to take — инфинитив цели/стремления после прилагательного anxious (“очень стремился”).

7. The poem can easily be memorized.
   Перевод: Это стихотворение легко выучить (наизусть).
   Пояснение: модальный can + пассивный инфинитив — возможность/легкость выполняемого действия.

8. This poem is easy to memorize.
   Перевод: Это стихотворение легко запомнить.
   Пояснение: прилагательное easy + инфинитив — характеристика объекта по признаку «легко сделать что-то с ним».

9. I did not expect to be asked this question.
   Перевод: Я не ожидал(а), что мне зададут этот вопрос.
   Пояснение: пассивный инфинитив to be asked после глагола ожидания — значение «не ожидал подвергнуться действию».

10. There were so many things to do, so many experiments to try.
    Перевод: Было столько дел, столько экспериментов, которые нужно было попробовать провести.
    Пояснение: инфинитив в атрибутивной функции (things to do / experiments to try) — «которые предстоит/нужно сделать».

11. The teacher expected him to give a better answer at the examination.
    Перевод: Учитель ожидал, что он даст лучший ответ на экзамене.
    Пояснение: «Complex Object» (объектный инфинитив): expected him to give — ожидание от объекта совершить действие.

12. They are supposed to have experimented in this field for about a year and are believed to have achieved good results.
    Перевод: Полагают, что они около года проводили эксперименты в этой области, и считают, что они добились хороших результатов.
    Пояснение: «Complex Subject»: are supposed / are believed + to have… — безличные оценки/мнение с перфектным инфинитивом (действие завершено к настоящему).

13. He must have read something funny; he is smiling all the time.
    Перевод: Должно быть, он прочитал что-то смешное: он всё время улыбается.
    Пояснение: модальный must + have + V3 — вероятностный вывод о прошедшем действии на основании признаков в настоящем.