Young people want changes, but old people want things to stay the same.
Почему перед прилагательными young и old не стоит артикль?

В предложении Young people want changes, but old people want things to stay the same слова young и old употреблены не как существительные, а как обычные прилагательные перед существительным people.

То есть структура такая:

young people — молодые люди
old people — пожилые люди

В английском языке артикль ставится обычно перед существительным, а не просто перед прилагательным само по себе. Здесь главным словом является people, а young и old только описывают, какие именно люди имеются в виду.

Поэтому мы не говорим:

the young people want changes — если речь не о какой-то конкретной группе молодых людей
the old people want things to stay the same — если речь не о конкретных пожилых людях

В исходном предложении говорится о людях вообще, как о двух группах в общем смысле: молодые люди в целом и пожилые люди в целом. Когда существительное во множественном числе употребляется в общем значении, артикль обычно не нужен:

Dogs are friendly. — Собаки дружелюбные.
Children like games. — Дети любят игры.
Young people want changes. — Молодые люди хотят перемен.

Важно не спутать это с другой конструкцией: the young и the old. В английском языке можно поставить the перед прилагательным, и тогда оно превращается в собирательное существительное:

the young — молодёжь, молодые люди как социальная группа
the old — старики, пожилые люди как социальная группа
the rich — богатые
the poor — бедные

Например:

The young want changes, but the old want things to stay the same.

Это тоже грамматически правильно. Здесь the young значит примерно young people, а the old значит old people. Но в вашем предложении уже есть существительное people, поэтому артикль перед young и old не нужен.

Сравните:

Young people want changes.
Здесь young — прилагательное, people — существительное. Артикля нет, потому что речь о молодых людях вообще.

The young want changes.
Здесь young употреблено как существительное в значении «молодёжь», поэтому появляется the.

Итак, в предложении Young people want changes, but old people want things to stay the same артикля перед young и old нет, потому что это прилагательные перед существительным people, а всё сочетание young people / old people обозначает людей в общем смысле.