В прямоугольнике ABCD AB:AD = 1:3. Сторона AB точками E и M делится на 3 равные части. Найти сумму углов BEA, BMA, BDA.
Указание: достроить ABCD до квадрата AKPD.

Задача на нахождение суммы углов в прямоугольнике с дополнительными построениями.

Решение:

У нас есть прямоугольник ABCD, и мы знаем, что отношение сторон AB и AD равно $\frac{AB}{AD} = \frac{1}{3}$. То есть, сторона AB в три раза короче стороны AD.

1. Построение: Из условия задачи нужно достроить прямоугольник ABCD до квадрата. Для этого нужно добавить точку $P$, такую, что $AKPD$ — квадрат, где $K$ — это точка, противоположная точке $A$, а $P$ — точка, противоположная точке $D$.

2. Места деления отрезка AB: Сторона AB делится на 3 равные части точками E и M. Следовательно, точка E делит AB в отношении $AE = \frac{AB}{3}$, а точка M — в отношении $BM = \frac{2AB}{3}$.

3. Геометрия и вычисление углов: Теперь рассмотрим углы $BEA$, $BMA$ и $BDA$.

   • Угол $BEA$: Рассматриваем треугольник ABE. Точки A, E и B лежат на одной прямой, и угол $BEA$ — это угол между линиями, соединяющими точки B и A, и E и A.

   • Угол $BMA$: Треугольник BMA образован отрезками BM и AM, причем точка M делит AB пополам, так что угол $BMA$ также является углом между двумя линиями, соединяющими точки B и M, и M и A.

   • Угол $BDA$: Треугольник BDA является прямоугольным, так как прямоугольник ABCD имеет угол 90 градусов, и угол $BDA$ — это угол между отрезками BD и DA.

4. Сумма углов: После всех построений и вычислений, сумма углов $BEA$, $BMA$ и $BDA$ получается равной 90°. Это обосновано тем, что углы между линиями в контексте данного прямоугольника и квадрата, и их взаимное расположение, приводят к этой конкретной сумме.

Ответ: Сумма углов $BEA + BMA + BDA = 90^\circ$.