Почему Дмитрия Донского назвали Донским?

Короткий ответ: потому что его решающая победа над ордынским темником Мамаем была одержана на реке Дон — на Куликовом поле, 8 сентября 1380 года. За эту победу и «прилипло» прозвище «Донской» — то есть «с Дона», «победитель на Дону».

Чуть подробнее. При жизни и в ранних документах он — «Дмитрий Иванович, великий князь Московский и Владимирский». Прозвище «Донской» — это позднее закрепившийся эпитет в память о Куликовской битве. Именно она впервые показала, что русские силы способны разбить крупное ордынское войско; к тому же Дмитрий пошёл на смелый шаг — переправился через Дон, фактически отрезав себе путь к отступлению, и навязал сражение на выбранном им месте (между Доном и Непрядвой).

Эпитет «Донской» помогал и отличать его от других современников с тем же именем (например, от князя Дмитрия Константиновича Нижегородского). Так что это не фамилия и не титул, а почётное прозвище, связанное с местом и смыслом его главной победы.