Почему, несмотря на то что главой Новгорода был князь, мы говорим о Новгородской республике?

Потому что в Новгороде князь был не суверен, а наёмный военный и судья, подчинённый городскому обществу и его учреждениям. Политическая система Новгорода XIII–XV вв. устроена республикански (в средневековом смысле): верховная власть принадлежала не династии, а «городу» — вечу и органам самоуправления. Коротко по ключевым чертам.

1. Кто был «хозяином» власти
   — Самоназвание земли — «Господин Великий Новгород» — подчёркивало, что «господин» тут не князь, а сам город-община.
   — Верховный орган — вече: созывалось для решения войны и мира, приглашения/изгнания князя, заключения договоров, утверждения должностных лиц.
   — Постоянное управление вели посадники (городские «первые лица»), тысяцкий (глава ополчения и торгово-судебных дел), а также Совет господ (верхушка бояр) — фактически «правительство» между вечами.
   — Архиепископ (в Новгороде — политическая фигура): хранил казну, печать, выступал посредником в конфликтах, гарантировал клятвы.

2. Статус князя: «приглашённый менеджер», а не монарх
   — Князя приглашали по договору (ряд). Его могли не только позвать, но и «показать путь» — выпроводить, если нарушал условия.
   — Полномочия жёстко ограничены: князь не имел права вмешиваться в городское управление, назначать своих наместников везде, взимать произвольные налоги, вести внешнюю политику без согласия.
   — Его главная функция — командовать дружиной, защищать торговые пути и судить по оговорённым категориям дел вместе с посадником/тысяцким.
   — Жил князь обычно отдельно (на Рюриковом городище), что символически отделяло его от «владения городом».

3. Социальная база республики
   — Формально «народовластие» через вече, на деле — олигархическая республика боярско-купеческих родов. Они контролировали Совет господ, должности и торгово-земельные ресурсы, но всё равно нуждались в согласии общины по крупным вопросам.
   — Экономическая мощь (меха, воск, хлеб, транзитные пошлины) делала военную силу князя полезной, но не жизненно незаменимой — отсюда и зависимое положение князя.

4. Республиканские признаки в сравнении с другими русскими землями
   — В других княжествах династический принцип (Рюриковичи) давал князю суверенитет. В Новгороде суверенитет исходил «снизу» — от городской корпорации.
   — Право выбора и смещения правителя, коллегиальные органы управления, договорная форма власти — классические признаки средневековой республики (в духе ганзейских городов или североитальянских коммун).

5. Финал системы
   — В 1478 г. Иван III ликвидировал автономию: вывезли вечевой колокол, упразднили ключевые институты — с этого момента Новгород перестал быть республикой. То, что до этого существовало почти два столетия, историки и называют Новгородской республикой.

Итог: князь в Новгороде — инструмент республики, а не её хозяин. Именно поэтому, несмотря на наличие князя, политическую систему города справедливо называют республикой.