По преданию, царь Гиерон, правивший Сиракузами (в городе, где родился Архимед), получив от мастеров-ювелиров заказную золотую корону, усомнился в их честности. Ему показалось, что мастера утаили часть золота, заменив его серебром. Выяснить, есть ли в золотой короне примесь серебра, Гиерон поручил Архимеду. Решение этой задачи, как свидетельствует легенда, Архимед нашёл в бане. Намылившийся Архимед решил погрузиться в ванну. Вода в ванне поднималась по мере того, как он в неё погружался. Увидев, как вытекает вода, вытесняемая его телом, Архимед понял, что задача царя решена. Поражённый этим открытием, он вскочил из ванны и побежал по улице, восклицая: «Эврика! Нашёл!». Как Архимед смог решить поставленную перед ним задачу?

Архимед решил задачу царя Гиерона с помощью открытого им закона, который впоследствии получил название закона Архимеда.

Суть решения заключалась в следующем.

1. Определение объёма короны. Архимед понял, что объём тела можно определить по количеству воды, которое оно вытесняет при полном погружении. Он взял сосуд с водой и погрузил в него корону. По объёму вытесненной воды определил объём короны.

2. Определение массы и плотности. Поскольку корона была изготовлена из золота и, возможно, серебра, Архимед сравнил её массу с массой такого же по объёму чистого золота. Для этого он взвесил корону и определил её плотность по формуле:

где $\rho$ — плотность вещества, $m$ — масса короны, $V$ — её объём.

3. Сравнение результатов. Архимед знал, что плотность чистого золота составляет примерно 19,3 г/см³, а плотность серебра — около 10,5 г/см³. Если бы корона состояла исключительно из золота, её плотность совпадала бы с плотностью чистого золота. Однако если часть золота была заменена серебром, плотность короны оказалась бы меньше.

Таким образом, измерив объём и массу короны, Архимед мог установить её плотность и определить, соответствует ли она плотности чистого золота.

Вывод: если плотность короны меньше плотности чистого золота, значит, в ней присутствует примесь другого, менее плотного металла — в данном случае серебра.

Открытие Архимеда стало важным шагом в развитии физики и гидростатики. Оно показало, что по вытесненному объёму жидкости можно определять объём тела неправильной формы, а по соотношению массы и объёма — устанавливать плотность вещества.

Стоит отметить, что история с ванной и короной известна нам из античного предания, а не из достоверных свидетельств современников Архимеда. Тем не менее она наглядно иллюстрирует физический принцип, связанный с его именем.