Почему, готовясь к бою, Кирибеевич кланяется только царю, а Калашников — царю, Кремлю, церквям, а потом ещё народу русскому?

Потому что это не просто разные люди — у них разные «опоры» и разные смыслы поступка.

Кирибеевич — опричник, человек двора. Его честь, карьера и сама безопасность целиком зависят от воли государя. В бой он идёт не «за правду», а из личной страсти и обиды. Поэтому и кланяется только царю: признаёт единственный для себя суд и единственного благодетеля. Перед народом и церковью ему кланяться неловко и нечего — он как раз нарушил народный и христианский моральный закон (посягнул на честь замужней женщины) и ищет прикрытия в царской милости.

Калашников — купец, «человек земли» и общины. Он выходит «за правду-праведную», защищать честь жены, рода и купеческого слова. Ему важно подтвердить, что он не бунтовщик: потому сначала кланяется царю — признаёт земной порядок и готов понести приговор. Затем кланяется Кремлю и церквям — это апелляция к святыне и «суду Божьему»: его поступок должен быть взвешен не только властью, но и совестью/верой. И наконец — народу русскому: он один из них и действует в соответствии с народным пониманием правды, просит у общины свидетелей и морального благословения. В этом поклоне — и прощание (он почти наверняка идёт на смерть), и подчёркивание, что его правда — общая, а не придворная.

Именно этим поклонам Лермонтов противопоставляет две Руси: узкую придворно-опричную, где правит личная милость государя, и народно-праведную, где мерилом служат вера, община и Родина. Кирибеевич ищет опору в власти; Калашников — в правде, святыне и народе. Поэтому их поклоны расходятся.