Каковы причины первой и второй ссылок Лермонтова на Кавказ?

Кратко: обе ссылки вели его на Кавказ, но причины были разными — сначала за дерзкую гражданскую поэзию, потом за нарушение воинской дисциплины (дуэль).

Первая ссылка (1837–1838).
Поводом стала стихотворная «крамола» после гибели Пушкина — стих «Смерть поэта». В нём Лермонтов открыто обвинил «вельможных злодеев» и светское окружение, чем вызвал гнев двора и Николая I. Поэта арестовали и, как офицера Лейб-гвардии, перевели для службы на Кавказ (в строевую часть Кавказского корпуса). Формально — не как уголовное наказание, а как «распределение по службе», но по сути это была ссылка вдали от столицы.

Вторая ссылка (1840–1841).
Здесь причина иная: нарушение запрета на дуэли. В феврале 1840 года Лермонтов стрелялся с Эрнестом де Барантом (сыном французского посланника). Дуэль обнаружилась, поэта арестовали и по суду отправили снова на Кавказ — уже на передовую, в действующие части (он участвовал в походах и сражениях, в том числе у реки Валерик). После краткого возвращения в Петербург весной 1841 года его вновь направили на Кавказ; летом того же года Лермонтов погиб в Пятигорске на дуэли с Н. Мартыновым.

Итак: первая ссылка — за «Смерть поэта» и вызванный ею политический скандал; вторая — за дуэль (дисциплинарное нарушение), с последующей отправкой в боевые части на Кавказ.