Действие комедии Н. В. Гоголя «Ревизор» начинается и заканчивается в доме городничего объявлением о приезде ревизора. Как называется такой тип композиции?

Такой тип композиции называется кольцевая композиция (её ещё называют рамочной, или «композиция с обрамлением»).

Смысл в том, что произведение начинается и заканчивается одной и той же ситуацией / мотивом / событием, образуя как бы «кольцо». В «Ревизоре» это хорошо видно: в начале в доме городничего объявляют о приезде ревизора, и в финале всё снова замыкается на той же точке — звучит сообщение о настоящем ревизоре. За счёт такого «возврата» создаётся эффект завершённости и подчёркивается, что круг событий замкнулся, а герои возвращаются к исходной угрозе, но уже в куда более страшной реальности.