Почему в словосочетаниях "по-нашему сказано, по-зимнему холодно" первое слово пишется через дефис, а в словосочетаниях "по нашему дому, по зимнему саду" - без дефиса?

Всё дело в части речи и грамматической функции слов в данных словосочетаниях.

В выражениях «по-нашему сказано», «по-зимнему холодно» первое слово — это наречие, образованное от прилагательного или местоимения при помощи приставки по- и суффикса -ому / -ему. Такие наречия обозначают образ действия (как сказано? — по-нашему; как холодно? — по-зимнему) и всегда пишутся через дефис. Это правило русского языка для наречий, образованных от прилагательных или местоимений при помощи приставки по- и суффикса -ому / -ему.

Примеры подобных наречий:

• по-новому,

• по-дружески,

• по-глупому,

• по-нашему.

А вот в словосочетаниях «по нашему дому», «по зимнему саду» слова нашему и зимнему — это прилагательные в форме дательного падежа, согласованные с существительным (дому, саду). Здесь нет наречия, это просто предлог + прилагательное + существительное, и пишется раздельно. В таких случаях дефис не ставится, потому что грамматически это обычное сочетание слов, а не единое наречие.

Итак:

• Дефис — если это наречие (по-нашему = как?).

• Раздельно — если это сочетание предлога с прилагательным и существительным (по нашему дому = по какому дому?).