По какому правилу пишутся слова "объяснительная", "субъективный", "объективный", "сэкономить"?

Слова "объяснительная", "субъективный", "объективный", "сэкономить" пишутся по правилу о твердых и мягких знаках в корнях слов, в частности — это правило правописания ъ и ь знаков после приставок.

Вот как оно работает:

1. "Объяснительная"

Слово образовано от глагола объяснить, в котором приставка об- заканчивается на согласную, а корень -ясн- начинается с я (йотированного гласного). По правилу, если приставка оканчивается на согласную, а корень начинается с е, ё, ю, я, то между ними пишется твёрдый знак (ъ):

об + яснительный → объяснительный → объяснительная

2. "Субъективный"

3. "Объективный"

В обоих словах тот же случай. Приставки суб- и об- заканчиваются на согласную, а корень начинается на е:

• суб + ект → субъективный

• об + ект → объективный

Между приставкой и корнем ставится твёрдый знак (ъ), так как корень начинается на йотированный гласный.

4. "Сэкономить"

А здесь другой случай. Слово состоит из приставки с- и корня экономить. Гласная э хоть и стоит в начале корня, но не является йотированной (в отличие от е, ё, ю, я). Поэтому между приставкой и корнем твёрдый знак не пишется.

Итого:

Ъ пишется после приставки, если корень начинается с е, ё, ю, я (йотированных гласных), как в объяснительная, объективный, субъективный.

Ъ не пишется, если после приставки идёт э, а, о, у, и, потому что это не йотированные гласные — как в слове сэкономить.