Как правильно пишется: "похожИм" или "похожЕм"?

Правильный вариант — «похожем». Это форма творительного падежа от прилагательного «похожий» в единственном числе для местоимений и существительных мужского род и во множественном числе.

Например, в предложении:

• Мы в похожем положении.

• Он был в похожем состоянии.

Форма «похожим» используется, когда слово стоит в творительном падеже, но относится к существительному или местоимению в мужском роде, как в случае с «похожим» в следующих примерах:

• Я горжусь своим похожим выбором.

• Он пошел по похожим следам.