Как правильно: из библиотеке или из библиотеки?

Правильный вариант — "из библиотеки". Это связано с правилами русской грамматики, где после предлогов "из", "в", "с" в форме родительного падежа существительных должен стоять нулевой или мягкий вариант окончания. В слове "библиотека" окончание "е" в родительном падеже сохраняется, и правильно будет говорить "из библиотеки", а не "из библиотеке".