Продолжавшийся - проверочное слово.

Слово «продолжавшийся» — это причастие, образованное от глагола «продолжаться». Чтобы проверить безударную гласную в корне, нужно подобрать проверочное слово, в котором эта гласная будет находиться под ударением.

В слове «продолжавшийся» ударение падает на третью «а»: про-дол-жа́в-ши-й-ся, поэтому корень «долж» — безударный, и именно его нужно проверить.

Проверочным словом будет «долг» или «должен», где гласная «о» в корне находится под ударением: до́лг, до́лжен. Эти слова однокоренные и помогают убедиться в правильном написании корня «долж».

Таким образом, проверочное слово к слову «продолжавшийся» — это «долг» или «должен».