Картофель и картошка — однокоренные слова?

Да, картофель и картошка — это однокоренные слова. Оба слова происходят от одного и того же заимствованного корня, связанного с названием растения, которое изначально попало в русский язык через европейские языки.

Слово картофель пришло в русский язык из немецкого языка — Kartoffel, а в немецкий оно попало из итальянского tartufolo (уменьшительное от tartufo — "труфель"), потому что клубни картофеля напоминали труфели.

Картошка же — это уменьшительно-ласкательная форма от картофель, образованная по обычным правилам словообразования русского языка с использованием суффикса -шк- (аналогично: кошка от кошка, ложка от ложка, морковка от морковь и т.п.).

Таким образом, у этих слов общий корень картоф-, а различие — в словообразовательных суффиксах. Поэтому картофель и картошка — однокоренные слова.