Определить корень в слове "сегодня".

Корень слова "сегодня" — "сегодн".

Это слово образовано от устаревшего выражения "сего дня" (то есть "этого дня"). В процессе развития языка оно стало представлять собой единое слово. Корень "сегодн" сохраняет связь с понятием "день", которое в данном контексте означает текущий, сегодняшний день.