Однокоренные слова к слову "игра".

Корень у слова «игра» — ИГР-. Вот основные однокоренные (одного корня) слова.

Глаголы:
играть, поиграть, заиграть, наиграть, доиграть, переиграть, отыграть, обыграть, разыграть, подыграть, проиграть, выиграть;
игрывать: поигрывать, заигрывать, наигрывать, доигрывать, переигрывать, отыгрывать, обыгрывать, разыгрывать, подыгрывать, проигрывать, выигрывать.

Существительные:
игра, игрок, игрец (устар.), игрун, игрунья, игрушка, игрушечка, игрушечность, игротека;
игровка/переигровка, доигровка;
розыгрыш, выигрыш, проигрыш, подыгрыш, наигрыш, отыгрыш, обыгрыш;
сыгранность, наигранность;
игривость;
игрище, игралище (книжн., устар.);
игроман, игроманка, игромания (о зависимости от игр).

Прилагательные:
игровой (игровая, игровое), игральный (игральные карты), игрушечный, игривый, игровитый, игорный (в значении «относящийся к азартным играм»), сыгранный, наигранный, переигранный, разыгранный, проигранный, выигранный, отыгранный, обыгранный, доигранный, подыгранный.

Наречия и краткие формы:
игриво, играючи; игрив, игрива, игриво, игривы.

Причастия/деепричастия (производные от глаголов «играть» и приставочных форм):
играющий, играемая; сыгравший, проигравший, выигравший; играя, заигрывая, разыгрывая и т. п.

Пара слов о «ложных друзьях»:
игрёный/игреный (о масти лошади) к «игре» не относится; имя Игорь — тоже не однокоренное.

Этого набора обычно хватает для школьного разбора: все перечисленные слова имеют общий корень ИГР- и образованы от «игра/играть» приставками и суффиксами.