Плыли по ... реке. Какое имя существительное надо вставить в дательном падеже?

Чтобы правильно ответить на этот вопрос, нужно понимать, что в дательном падеже имя существительное будет отвечать на вопросы "кому?" или "чему?". В данном контексте, фраза начинается с "плыли по ... реке". Поскольку "по" требует существительного в дательном падеже, правильным вариантом будет "по реке", так как "река" в дательном падеже имеет форму "реке".