Обойдёшься — какая часть речи?

Глагол.
Форма от инфинитива обойтись.

Разбор:

• Часть речи: глагол, возвратный (суффикс -ся).

• Начальная форма: обойтись.

• Вид: совершенный.

• Переходность: непереходный.

• Спряжение: I.

• Лицо/число: 2-е лицо, ед. число.

• Время: будущее (простое).

• Наклонение: изъявительное.

• Форма: личная (обойдёшься).

Примечание: в разговорной речи в реплике «Обойдёшься!» (в значении «ничего не получишь») — всё равно глагол той же формы; это эллиптическое предложение с подразумеваемым подлежащим «ты».