Задание от учителя: как решать (8 класс)

Без самой формулировки задачи дам «инструкцию по решению» типичных заданий 8-го класса — то, как я сам оформляю такие решения на сайтах с вопросами и ответами. Ниже — короткие алгоритмы + мини-примеры с разбором.

1) Линейные уравнения со скобками и дробями

Алгоритм:

1. Раскрыть скобки. 2) Привести подобные. 3) Избавиться от дробей (умножить на ОДЗ-безопасный НОК знаменателей). 4) Найти $x$. 5) Проверка.

Пример. $(3x-5)/6 - (x+1)/4 = 1/3$
НОК(6,4,3)=12: $2(3x-5)-3(x+1)=4$ → $6x-10-3x-3=4$ → $3x-13=4$ → $x=17/3$.
Проверка: слева $=1/3$ — сходится.

2) Системы линейных уравнений (подстановка/сложение)

Алгоритм (подстановка): выразить переменную из простого уравнения → подставить во второе → найти обе.

Пример. $\{\,2x+3y=11,\ x-y=2\,\}$
Из второго: $x=y+2$. Подставляем: $2(y+2)+3y=11$ → $5y=7$ → $y=7/5$, $x=17/5$.

3) Неравенства с модулем

Алгоритм: $|A| \le b \Rightarrow -b \le A \le b$; $|A| \ge b \Rightarrow A\le -b \ \text{или}\ A\ge b$ (для $b\ge0$).

Пример. $|2x-5|\le7$ → $-7\le2x-5\le7$ → $-2\le2x\le12$ → $-1\le x \le6$.

4) Квадратные уравнения

Алгоритм: $ax^2+bx+c=0$. Считать $D=b^2-4ac$. Если $D\ge0$: $x_{1,2}=( -b \pm \sqrt D )/(2a)$.

Пример. $2x^2-5x-3=0$: $D=25+24=49$.
$x=(5\pm7)/4\Rightarrow x=3$ или $x=-1/2$.

5) Преобразования и разложение на множители

Алгоритм: помнить формулы: $(a\pm b)^2$, $a^2-b^2$, вынесение общего множителя, «ввод замены», потом обратная подстановка.

Пример (замена). $(x-2)^2-3(x-2)-4$.
Пусть $y=x-2$. Тогда $y^2-3y-4=(y-4)(y+1)$. Возвращаемся: $(x-6)(x-1)$.

6) Текстовые задачи (проценты/средняя скорость/смеси)

Проценты: «увеличили на $p\%$» ⇒ умножили на $1+\frac p{100}$; «уменьшили» ⇒ на $1-\frac p{100}$.
Пример. После +20% стало 600 → $x\cdot1{,}2=600\Rightarrow x=500$.

Средняя скорость туда-обратно: $v_{\text{ср}}=\dfrac{S_{\text{общ}}}{t_{\text{общ}}}$.
Пример. 120 км туда 60 км/ч, обратно 40 км/ч.
$t=120/60+120/40=2+3=5$ ч, $S=240$ км ⇒ $v_{\text{ср}}=240/5=48$