какой падеж слов по реке

Это дательный падеж.

Форма: по реке — предлог по в значении «вдоль/по поверхности, по направлению» управляет дательным падежом: отвечает на вопрос «по чему?» → «по реке».
Единственное число: река — реке → по реке.
Множественное: реки — рекам → по рекам.

Примеры по тому же правилу: по дороге, по лесу, по морю, по стене.

Важно не путать с устойчивыми выражениями типа по шею, по колено — там используется винительный, но к «по реке» это не относится.