Какой падеж у слова "вплотную"?

«Вплотную» — это наречие, а не имя существительное или прилагательное, поэтому падежа у него нет. Наречия в русском языке неизменяемы: у них нет рода, числа и падежа.

Иногда «вплотную» входит в сочетание с предлогом и существительным:

• подойти вплотную к стене — здесь «вплотную» остаётся наречием, а предлог к требует дательного падежа от слова «стена» (к стене).

• поставить вплотную к окну — та же история: наречие + предлог, а падеж у «окно» дательный (к окну).

Итого: у слова «вплотную» самого по себе падежа нет; падеж появляется у существительного, которое стоит после предлога (к и т. п.) в таком обороте.