Почему в этом предложении стоят запятые? Из двери белого домика, захлестнутого виноградниками, выходит навстречу солнцу древний старец.

Запятые ставятся для обособления причастного оборота.

В словосочетании «белого домика, захлестнутого виноградниками» слово «захлестнутого» — полное причастие прошедшего времени с зависимым словом («виноградниками»), т.е. причастный оборот. Он стоит после определяемого слова («домика»), поэтому по правилу такой оборот обособляется с двух сторон:
«Из двери белого домика, захлестнутого виноградниками, выходит…»

Остальные части предложения («из двери», «навстречу солнцу») — обстоятельственные/предложные конструкции, запятых не требуют.

Если бы причастный оборот стоял перед определяемым словом, запятые не понадобились бы:
«Из двери захлестнутого виноградниками белого домика выходит…»