Именительный падеж, родительный падеж, дательный падеж, винительный падеж, творительный падеж, предложный падеж. Слова на -ий, -ие, -ия.

Если коротко: существительные на -ий (м. р.), -ие (ср. р.) и -ия (ж. р.) относятся ко 2-му и 1-му склонениям с «йотированными» окончаниями. Ниже — полный разбор с примерами и формами по падежам.

—
СУЩЕСТВИТЕЛЬНЫЕ НА -ИЙ (муж. род: гений, санаторий, музей) — 2-е склонение

Ед. число (на примере «гений», «санаторий», «музей»):
• Именительный: гениЙ, санаторИй, музеЙ
• Родительный: гениЯ, санаториЯ, музеЯ
• Дательный: гениЮ, санаториЮ, музеЮ
• Винительный: (неодуш.) как И.п.: гениЙ, санаторИй, музеЙ; (одуш.) как Р.п.: гениЯ
• Творительный: гениЕМ, санаториЕМ, музеЕМ
• Предложный: о гениИ, о санаториИ, о музеЕ/музее (допустимы оба варианта произношения; пишется «о музее»)

Мн. число:
• Именительный: гениИ, санаториИ, музеИ
• Родительный: гениЕВ, санаториЕВ, музеЕВ
• Дательный: гениЯМ, санаториЯМ, музеЯМ
• Винительный: (неодуш.) как И.п.: гениИ, санаториИ, музеИ; (одуш.) как Р.п.: гениЕВ
• Творительный: гениЯМИ, санаториЯМИ, музеЯМИ
• Предложный: о гениЯХ, о санаториЯХ, о музеЯХ

Замечания:
• Винительный падеж у муж. рода зависит от одушевлённости: у одуш. = Р.п., у неодуш. = И.п.
• В Р.п. мн. чаще «-ЕВ».

—
СУЩЕСТВИТЕЛЬНЫЕ НА -ИЕ (сред. род: здание, задание, море — не наш тип; нам нужны именно «-ие», напр. «задание», «объявление») — 2-е склонение

Ед. число (на примере «задание», «здание», «объявление»):
• Именительный: заданИЕ, зданИЕ, объявленИЕ
• Родительный: заданИЯ, зданИЯ, объявленИЯ
• Дательный: заданИЮ, зданИЮ, объявленИЮ
• Винительный: (всегда как И.п.): заданИЕ, зданИЕ, объявленИЕ
• Творительный: заданИЕМ, зданИЕМ, объявленИЕМ
• Предложный: о заданИИ, о зданИИ, об объявленИИ

Мн. число:
• Именительный: заданИя, зданИя, объявленИя
• Родительный: заданИй, зданИй, объявленИй
• Дательный: заданИям, зданИям, объявленИям
• Винительный: как И.п.: заданИя, зданИя, объявленИя
• Творительный: заданИями, зданИями, объявленИями
• Предложный: о заданИях, о зданИях, об объявленИях

Замечания:
• Для среднего рода на -ие в Р.п. мн. — «-ИЙ» (без беглой гласной).
• Акк. = Ном., так как неодушевлённые.

—
СУЩЕСТВИТЕЛЬНЫЕ НА -ИЯ (жен. род: история, компания, Россия) — 1-е склонение (йотированный тип)

Ед. число (на примере «история», «компания», «Россия»):
• Именительный: историЯ, компанИя, РоссиЯ
• Родительный: историИ, компанИи, РоссиИ
• Дательный: историИ, компанИи, РоссиИ
• Винительный: историЮ, компанИю, РоссиЮ
• Творительный: историЕЙ/историЕЮ, компанИЕЙ/компанИЕЮ, РоссиЕЙ/РоссиЕЮ
• Предложный: об историИ, о компанИи, о РоссиИ

Мн. число:
• Именительный: историИ, компанИи, РоссиИ
• Родительный: историЙ, компанИй, РоссиЙ
• Дательный: историЯм, компанИям, РоссиЯм
• Винительный: историИ, компанИи, РоссиИ
• Творительный: историЯми, компанИями, РоссиЯми
• Предложный: об историЯх, о компанИях, о РоссиЯх

Замечания:
• В Т.п. ед. есть две равноправные формы: -ЕЙ и -ЕЮ (чаще употребляется -ЕЙ).
• В Р.п. мн. — «-ИЙ».

—
КРАТКИЕ ПРАВИЛА ПО ОКОНЧАНИЯМ

1. -ИЙ (м.р.):
   ед. ч. — -ий, -ия, -ию, -ий/-ия, -ием, -ии;
   мн. ч. — -ии, -ев, -ям, -ии/-ев, -ями, -ях.

2. -ИЕ (ср.р.):
   ед. ч. — -ие, -ия, -ию, -ие, -ием, -ии;
   мн. ч. — -ия, -ий, -иям, -ия, -иями, -иях.

3. -ИЯ (ж.р.):
   ед. ч. — -ия, -ии, -ии, -ию, -ией(-иею), -ии;
   мн. ч. — -ии, -ий, -иям, -ии, -иями, -иях.

Полезные пометки:
• У мужских на -ий винительный зависит от одушевлённости.
• У средних на -ие и женских на -ия родительный мн. — «-ИЙ».
• Предлог «о/об» выбирается по удобству произношения: «о компании», но «об объявлении».