Тронут - какая часть речи?

Коротко: «тронут» — это краткая форма. По части речи бывает или кратким страдательным причастием прошедшего времени, или краткой формой прилагательного — зависит от смысла и контекста.

1) Краткое причастие (от глагола «тронуть», залог страдательный, вид совершенный, прошедшее время).
Употребляется, когда речь о действии над предметом и можно мысленно добавить исполнителя действия (кем? чем?):

• Он тронут её словами.

• Письмо тронуто автором.
  Разбор: причастие, краткая форма, м. р., ед. ч., сказуемое.

2) Краткое прилагательное (со значением свойства «слегка сумасшедший, с придурью»):

• Он слегка тронут.
  Здесь нет исполнителя действия, слово обозначает качество, синонимы: «чокнут», «не в себе».
  Разбор: прилагательное, краткая форма, м. р., ед. ч., сказуемое.

Как отличить быстро:

• Можно добавить «кем/чем?» → причастие (тронут чем? словами).

• Можно добавить степень/уточнитель качества (слегка, немного) и нет исполнителя → прилагательное (слегка тронут).