Просклоняйте числительное: шесть восьмых.

Правильно такая дробь склоняется оба слова сразу: и числительное «шесть», и слово «восьмых».

Формы по падежам:

• Именительный падеж — шесть восьмых
  (Сколько это? — шесть восьмых.)

• Родительный падеж — шести восьмых
  (Нет скольки? — шести восьмых.)

• Дательный падеж — шести восьмым
  (К скольким? — к шести восьмым.)

• Винительный падеж — шесть восьмых
  (Вижу сколько? — шесть восьмых.)

• Творительный падеж — шестью восьмыми
  (Делю чем? — шестью восьмыми.)

• Предложный падеж — о шести восьмых
  (Говорю о скольких? — о шести восьмых.)

Почему так:

• «Шесть» — количественное числительное, склоняется как обычное: шесть, шести, шести, шесть, шестью, о шести.

• «Восьмых» — это порядковое числительное во множественном числе, которое в дробях стоит в форме родительного множественного (как в «три пятых», «две третьих»). При склонении дроби оно ведёт себя как прилагательное во множественном числе: восьмые, восьмых, восьмым, восьмые, восьмыми, о восьмых — и подстраивается под падеж «шести».

Итого: во всех падежах меняются оба слова, а не только первое или второе.