Корень в слове бьющийся

Корень: -БИ- (в этой форме проявляется как бь-).

Это причастие от глагола биться (бить + -ся). В слове бьющийся морфемный разбор такой:
бь- (корень -би-) + -ющ- (суффикс действ. причастия наст. вр.) + -ий (окончание) + -ся (постфикс).

Мягкий знак после б появляется перед ю для обозначения мягкости, но к корню он не относится. Проверить корень можно однокоренными: бить, разбить, перебитый, бой (вариант корня -бой- в чередовании с -би-).