Разберу по порядку, как на разборе у репетитора.

1) «То солнце спрячется, то светит слишком ярко.»

• 1-я часть: солнце — подлежащее (И. п.), спрячется — сказуемое.

• 2-я часть: подлежащее эллиптически то же солнце (И. п., восстанавливается из контекста), светит — сказуемое, слишком ярко — обстоятельство образа действия.

Падежи существительных: солнце — И. п., 2-е скл., сред. род.

2) «При СОЛНЦЕ ЯБЛОКО на ветке дозревало.»

• при солнце — обстоятельство (предлог при + сущ. в П. п.);

• яблоко — подлежащее (И. п.);

• на ветке — обстоятельство места (предлог на + П. п.);

• дозревало — сказуемое.

Выделенные:

• СОЛНЦЕ — П. п., 2-е скл., ср. род (определено по предлогу при, который требует П. п.).

• ЯБЛОКО — И. п., 2-е скл., ср. род (подлежащее).

3) «Попрыгунья Стрекоза ЛЕТО красное пропела.»

• Попрыгунья Стрекоза — подлежащее (И. п.);

• пропела — сказуемое;

• лето — прямое дополнение (В. п. без предлога: «пропела что?»);

• красное — согласованное определение к лето (В. п., ср. род, ед. ч.).

Выделенное: ЛЕТО — В. п., 2-е скл., ср. род. (У средних рода в ед. ч. форма В. п. совпадает с И. п.: лето — лето.)

4) «СОСЕД СОСЕДА звал откушать.»

• сосед — подлежащее (И. п.);

• звал — сказуемое;

• соседа — прямое дополнение (В. п. без предлога: «звал кого?» — одуш., м. р., поэтому В. п. = Р. п.);

• откушать — обстоятельство цели (инфинитив).

Выделенные:

• СОСЕД — И. п., 2-е скл., м. род.

• СОСЕДА — В. п. (одуш.), 2-е скл., м. род; форма совпадает с родительным (соседа).

5) «Медведь попался в СЕТЬ.»

• медведь — подлежащее (И. п.);

• попался — сказуемое;

• в сеть — дополнение с предлогом в (направление) → В. п..

Выделенное: СЕТЬ — В. п., 3-е скл., ж. род (суффикс -ь; у неодуш. ж. рода 3-го склонения В. п. = И. п.: сеть — сеть).

6) «Природа оживилась, и ЗЕЛЕНЬ вся как будто обновилась.»

• 1-я часть: природа — подлежащее (И. п., 1-е скл., ж. р.), оживилась — сказуемое.

• 2-я часть: зелень — подлежащее (И. п.), вся — определение, обновилась — сказуемое, как будто — частица/вводное сочетание при сказуемом.

Выделенное: ЗЕЛЕНЬ — И. п., 3-е скл., ж. род.

Как определял падежи

1. По роли в предложении: подлежащее → обычно И. п.

2. По вопросу от сказуемого/слова-управителя: «пропела что?» → В. п.

3. По предлогу: при → П. п.; в (направление) → В. п.; на (место) → часто П. п.

4. По одушевлённости и склонению: у м. р. 2-го склонения в В. п. ед. ч. при одушевлённости форма = Р. п. (вижу соседа).

Склонение и падеж выделенных существительных (сводно)

• солнце — 2-е скл., ср. р.: И. п. (солнце) / П. п. (при солнце).

• яблоко — 2-е скл., ср. р.: И. п.

• лето — 2-е скл., ср. р.: В. п. (= И. п.).

• сосед — 2-е скл., м. р.: И. п.

• соседа — 2-е скл., м. р. (одуш.): В. п. (= Р. п.).

• сеть — 3-е скл., ж. р.: В. п. (= И. п.).

• зелень — 3-е скл., ж. р.: И. п.

Совпадают ли окончания в И. п. и В. п. у 1-го, 2-го и 3-го склонений?

Ед. число:

• 1-е склонение (ж. р. -а/-я; м. р. типа дядя):
  И. п. — книга, земля, дядя; В. п. — книгу, землю, дядю.
  ⇒ Не совпадают.

• 2-е склонение:
  — средний род (-о/-е): В. п. = И. п. (лето — лето).
  — м. р. неодуш. (стол): В. п. = И. п. (стол — стол).
  — м. р. одуш. (сосед): В. п. = Р. п. (вижу соседа).
  ⇒ Совпадают с И. п. у ср. рода и м. р. неодуш.; не совпадают у м. р. одуш.

• 3-е склонение (ж. р. на -ь: ночь, синь, зелень):
  В. п. = И. п. (ночь — ночь, зелень — зелень).
  ⇒ Совпадают.

Итого (ед. ч.):

• 1-е скл. — И ≠ В.

• 2-е скл. — зависит от рода/одушевлённости:

  • ср. р., м. р. неодуш. — И = В;

  • м. р. одуш. — В = Р, то есть И ≠ В.

• 3-е скл. (ж. р. на -ь) — И = В.

Этими правилами и пользовался при определении падежей в ваших предложениях.