Корень слова ЩЕГОЛЯТЬ

Корень: ЩЕГОЛ-.

Морфемный разбор: щегол- + я + ть

• приставки нет;

• щегол- — корень (ср.: щеголь, щегольской, щегольство, щеголеватый, щегольнуть);

• -я- — словообразовательный суффикс глагола (в наст. вр.: щеголя-ю, щеголя-ешь);

• -ть — суффикс инфинитива.

Смысловая связь: глагол образован от существительного щеголь ‘модник, франт’, поэтому корень тот же — щегол-. В формах настоящего времени видна беглая гласная суффикса (щеголя-ю), но корень остаётся щегол-.