Какая часть речи слово "остаётся"?

Это глагол.

Полная морфологическая характеристика:

• начальная форма: оставаться

• вид: несовершенный

• залог: возвратный (суффикс -ся)

• наклонение: изъявительное

• время: настоящее (формально — непрошедшее)

• лицо: 3-е

• число: единственное

• спряжение: I спряжение (ср.: оста́юсь, остаёшься, остаётся, …)

• переходность: непереходный

• синтаксическая роль в предложении обычно — сказуемое.

Пример: «Он остаётся дома» — сказуемое остаётся: 3 л., ед. ч., наст. вр., изъяв., несов. вида, возвратный глагол.