Какого рода слово "смотреть"?

Слово «смотреть» — это глагол, а глаголы в русском языке не имеют грамматического рода.

Род (мужской/женский/средний) — это категория, которая в первую очередь относится к существительным, а также проявляется у прилагательных, местоимений, причастий и некоторых форм числительных (они согласуются с существительным по роду).
У глагола вместо рода основными категориями являются вид, время, лицо, число, наклонение.

Однако есть важное уточнение: у глаголов род появляется только в формах прошедшего времени (и в условном наклонении, потому что оно строится на прошедшем времени), когда глагол согласуется с подлежащим:

• он смотрел — мужской род

• она смотрела — женский род

• оно смотрело — средний род

• они смотрели — множественное число (род не различается)

А именно форма «смотреть» — это инфинитив (неопределённая форма), и у инфинитива рода нет.

Итог: у слова «смотреть» рода нет, потому что это глагол в неопределённой форме. Род можно говорить только про его формы прошедшего времени: смотрел/смотрела/смотрело.