Какой падеж, род и склонение у слова "здравствуй"?

Короткий ответ: падежа нет, рода нет, склонения нет — слово «здравствуй» — неизменяемое междометие (в современной системе речи).

Развернённо: исторически «здравствуй» — повелительная форма от глагола «здравствовать» (2-е лицо единственного числа), но в современном русском языке это устоявшееся приветствие и рассматривается как междометие/фразеологизм. Междометия не изменяются по падежам и родам и не имеют склонений, поэтому говорить о падеже, роде или склонении для «здравствуй» неправильно. (Аналогично: «привет», «здравствуйте» — форма множественного/вежливого обращения — тоже служат междометиями.)